1.Limite
2.Odvodi
3.Integrali
4.Linearna algebra
5.Funkc.vec.sprem
6.Dif.enacbe

(def.real.st)
c) Dedakindova lastnost pravi,da med vsemi gornjimi mejami obstaja taka,da je najmanjsa.

(omejene.mn)
a) cER ^ cEA V a<=c.
b) je najmanjsa zg. meja.
c) najvecji element mn., kadar ga mn. ima je enak sup.
d) an=-1/n (nima max), an=1/n (1 je max in sup).

(abs.vred)
b) O(a,E)={x:|x-a|<E}; O(a,E)=(a-E, a+E).
c)a=c-E; b=c+E; (c+E, c-E)={x:|x-c|<E}; [c+E, c-E]={x:|x-c|<=E}.

(lim.zap)
b) St. L je limita zaporedja an,ce vsaka E-okolica st. L vsebuje skoraj vse clene zaporedja an.
c) an=((-1)^n)/n; an=2^n.

(lim.in.neenak)
a) Predpostavimo (n->oo)lim an=K, (n->oo)lim bn=L, ce velja K>L potem obstaja tak n0, da je an>bn, za vsak n>=n0.Ce je an>=bn za neskoncno razlicnih n potem je K>=L.
c) Ce je (n->oo)lim bn= (n->oo)lim cn= L in ce velja bn<=a<=cn za vsak n od nekod naprej, potem je tudi (n->oo)lim an=L.

b) Metoda sendvica: Tako da jo vklescimo med dve funk. z isto limito L, potem je tudi lim. funk. f v a enaka L.

(podzap)
b) an=(-1)^n -nima limite; bn=(-1)^2n -ima limito.

(hiper.funkc)
c) (chx)^2-(shx)^2=1,zato tocka (chx,shx) vedno lezi na hiperboli y^2-x^2=1. Za vsak x velja ch(-x)=chx, sh(-x)=-shx.

(def.zvezn)
b) lim(f +g)(an) = lim (f(an)+g(an))= lim f(an)+lim g(an) = f(a)+g(a) = (f + g)(a).
c)Funkcija f je zvezna v tocki a natanko tedaj, ko za vsak E>0 obstaja tak d > 0, da za vsak x iz D(f), ki zadosca |x-a|<d velja | f(x) - f(a) |<E.

(def.lim)
a) Da se tocka a "dotika" mnozice A\{a}
b) Lim. funk. f v a je L, ce za vsako zaporedje an v D(f)\{a}, ki limitira proti a, zaporedje f(an) limitira proti L.
c) Lim. funk. f v a je L, za za vsak E>o obstaja tak d>0, da za vsak x E D(f), ki zadosca 0<|x-a|<d velja |f(x)-L|<E.

(neskon.lim)
a) Vertikalna asimp.(x=a): (x->a+) lim f(x)= +oo ...itd.
b) Horizontalna asimp. (y=L): (x-> -oo) lim f(x)= L; (x->oo) lim f(x)= L

(def.odv)
a) f '(x)=(x->0) lim ( f(x+h) - f(x) )/h
c) f(x) = |x|; f '-(0)= (h->0-) lim -h/h = -1; f '+(0)= 1;

(geom.pomen.odv)
c) sekanta: y= f(a) + (f (a+h) - f(a) )/h * (x-a)
d) tangenta: y= f(a) + f '(a)(x-a)

(glob.ekstr.)
a) Pravimo, da je tocka (c, f(c)) glob.max. funk. f, ce za vsak x E D(f) velja f(x) <= f(c)
b) Vsaka zvezna funk. na zaprtem intervalu zavzame v neki točki največjo vrednost.
c) Kandidati za glob.ekstrem: robne tocke, tocke v katerih odvod funkcije zavzame vrednost 0.

(lok.ekstr.)
a) Lok. ex. je glob. ex. skrcitve f | o(c,d)
b) Vsak glob.ex.funk. je lahko tudi lok.ex., obratno pa obicajno ni res.
c) Ce je f def. in odv. v vsaki tocki odprtega I (a,b) in zavzame lok. ex. v tocki c E (a,b), potem je f '(c)=0.
d) Nicle funk. f ' niso nujno lok.ex. funk. f: f(x)=x^3.

(rolleov.lagrangeov)
a) Ce je funk. f def. na [a,b], zvezna v a in b in odv. v vsaki tocki (a,b) in ce velja f(a) = f(b), potem obstaja taka tocka c E (a,b), da velja f '(c)=0.
b) Ce je funk. f def. na [a,b], zvezna v a in b in odv. v vsaki tocki (a,b), potem obstaja taka tocka c E (a,b), da velja f(b) - f(a) = f ' (c)(b-a).

(montone.funk.in.odv.)
b) f(x2) + f(x1) = f '(c)(x2-x1)
f '(c)>=0 in x2-x1>0 zato je f '(c)(x2-x1)>=0
sledi: f(x2) - f(x1) >=0.
c) Ker ni povezana mnozica: D(f)= R\ {0}

(konveks.konkav)

a) konveksna: a<x<b f(x)<= f(a) ( f(b) - f(a) )/(b-a)*(x-a)
b) Ce je f ' narascujoca funk. je konveksna
c) konveksna: f"(x)>=0

(zadost.pog.lok.ex)
a) Ce funk. zavzame lok.ex. vv tocki c in je odv. na nekem odprtem I, ki vsebuje c,potem je f '(c)=0.
b) (1)Funk. f je odv. na odp. I, ki vsebuje c. (2) f '(c)=0. (3) f ' spremeni predznak v tocki c.
c) (1) Ce je drugi odv. funk. f def. in zvezen na neki okolici tocke c. (2) f '(c)=0. (3) f"(c)/= 0.

(uporaba.taylor.izr)
a) Ce je tretji odvod funk. f def. in zvezen v okolici tocke a ter velja f"(a)=0 in f'"(a)/=0,potem je (a,f(a)),prevojna tocka funk. f.
b) -||- f '(a)=0, potem (a,f(a)) ni lok. ex. funk.f.
c) (x->a)lim (f(x) - Tn(x)) / (x-a)^n =0.

(def.ob.en.ned.int.)
a) Pravimo da je F(x) ned.int. funk. f(x), ce velja F'(x)=f(x) za vsak x E D(f).
b) G(x)=F(x)+C
c) - vsaka zvezna funk. ima ned.int
- tudi nekatere funk., ki niso zvezne imajo ned.int.
- obstajajo funk., ki nimajo niti enega ned.int.
- ned.int. elementarne funk. ni nujno el. funk.

(int.po.delih)
b) § f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - § f '(x)g(x)dx

(osnovni.tipi)
a) Poseben primer int. § R(e^x)dx
b) Splosna trigonometrijska substitucija
c) Eulerjeva substitucija
d) Substitucija (ad - bc/=0)

(infinitez.racun)
c) Ce je f znezna na [a,b] in ce je @ ned.int.:
a§b f(x)dx = @(b) - @(a)
d) Ce je f taka funk.,da je D(f) povezana in ima neskoncno elementov,p potem je za vsak a E D(f) funk. F(x)= a§x f(t) dt.

(premice.v.Rn)
a) parametricna: x= r1+t(r2-r1); x=x0+tp
normalna: t= (x1-r01) / (r2-r1)1 = (x2-r02) / (r2-r1)2=...; t= (x1-x01) / p1=...
b) d= ||(T- x0)×p|| / ||p||
x1'= x0+ (x1-xo,p) / (p,p) * p
5) a) n= (r2-r1)×(r3-r1); (n, r-r1)=0
b) d= (n, r1-r0) / ||n||

(afine.in.regres)
a)Pravimo da je podmnozica A v R^2 afina, ce je enaka mnozici vseh resitev kakega sistema lin.en. (prazna,enoelementarna mn.)
*a) ujemanje: d1^2+...dn^2 = ||y-(ax+b1)||^2.
*b) <ax+b1-y,x> =0; <ax+b1-y,1> =0;
**a) d1^2+...dn^2 = ||y-r||^2;
y= (y1,....,yn);
r= a(x1^2,....,xn^2) +b(x1,...,xn) +c(1,...,1)

(element.mat)
a) Eij (@) Ax= Eij (@)b
Pij Ax = Pij b
Ei (ß) Ax = Ei (ß)b
*a) x= x0 + Pt - sistem lin.en. v matricni obliki
**b) Ax=b; nastavek x=x1+A^T *c, x1'= x0+Pt

(racunanje.det)
b) (1) Ce v mat. A k eni vrstici pristejemo veckratnik druge vrstice, se njena det. ne spremeni.
(2) Ce v mat. A zamenjamo dve vrstici, se njeni det. spremeni predznak.
(3) Ce v mat. A eno vrstico pomnozimo z ß, se tudi njena det. pomnozi z ß.
*c) B1= IB1= (B2A)B1 = B2(AB1) = B2I = B2

(krivulje.v.Rn)
a) Vekt.funk. je funk. iz R v R^n: *z D(f), se pravi podmn. DvR
* s predpisom, ki vsakemu el. iz D pripredi natanko določen vektor R^n *n>=2
b) Graf je podmn. v R^(n+1), zato ga lahko narisemo v primeru, ko je n=2
Tir je podmnozica v R^3, zato g alahko narisemo samo v primeru, ko je n=2 ali n=3.

(lim.in.odv.vekt.funk)
a) Lim. lahko izracunamo po komponentah.
Vekt. funk. r(t)= (x1(t),...xn (t)),tED je zvezna v tocki aED natanko tedaj,ko so vse funk. x1(t)...xn(t) zvezne v tocki a.
b) Odvod vekt. funk. f(t) v tocki t je def. z r'(t) = (h->0)lim (r(t+h)-r(t)) / h - s tem lahko izracunamo tangente (sekante).
c) r= r(t0)+ tr' (t0) -Toraj je odvod r'(t0) vektor, ki kaze v smeri tangente (na tir) z dotikaliscem v tocki r(t0).

(fizikalni.pomen)
a) delta r= r(t+h) -r
b) v(t) = ||v(t)||
c) delta r= r(t1)-r; t=t0; t+h=t1

(polarni.zapis)
a) -oddaljenost r od izhodisca (0,0)
- kot @ med vektorjem (x,y) in (1,0)
b) f= Sqrt(x^2 + y^2)
@= arctg y/ x

(Lok.in.glob.ex.funk.2spr)
a) Pravimo,da je funk. f(x,y) zavzame lok max. v tocki (x0,y0), ce obstaja tak E>0, da je f(x,y)<=f(x0,y0) v tocki (x,y)ED(f), ki je od (x0,y0) oddaljena manj kot E.
b) sf / sy (x0,y0)=0; sf / sx (x0,y0)=0
c) Pravimo, da funk. zavzame glob. max. v tocki x0=ED(f), ce za vsako tocko xED(f) velja f(x)<= f(x0). d) f(x)=x^2 - y^2S

(posred.in.impl.odv)
a) g'(t)= sf/sx (x(t),y(t)) x'(t) + sf/sy (x(t),y(t)) y'(t)
b) g'(x)= sf/sx (x, g(x)) // sf/sy (x, g(x))
d) Enacba tangente je:; sf/sx (x0,y0) (x-x0) + sf/sy (x0,y0) (y-y0) =0

(nivojnice)
a) Lahko jih narisemo samo, ko je D(f) C_ R^m m<=3
b) Nivojnice so "izohipse" grafa funk. f, ki ustrezajo st. c. Graf funk. sekamo z ravnino z=c in rezultat projiciramo na xy ravnino.
c) Ocitno je x=0 nicla funkcije y'. Preostale nicle in pole dobimo tako da pisemo k= y/x.

(resitev.dif.en)
a) Enacbi v kateri nastopa neznana funkcija in njen odvod pravimo diferencialna enacba prvega reda. Najsplosnejsa oblika diferencialne enacbe prvega reda je
F(x; y; y0) = 0; kjer je F dana funkcija treh spremenljivk, y = y(x) pa je neznana funkcija.
b) Praviloma resitev diferencialne enacbe prvega reda ni enolicno dolocena, ampak v njej nastopa neznana konstanta, se pravi
y = @(x;C); kjer je @ dana funkcija dveh spremenljivk, C pa neznana konstanta. Taki resitvi pravimo splosna resitev diferencialne enacbe.
c) Konkretne resitve diferencialne enacbe lahko dobimo tako, da v splosni resitvi neznano konstanto zamenjamo s konkretnimi vrednost mi. Vcasih pa obstajajo tudi resitve, ki se ne dajo dobiti na tak nacin, pravimo jim singularne resitve.

(geom.pomen.dif.en.prv)
a)(1) Izberimo nekaj realnih ·stevil c1,..., cn (cimvec) in narisimo krivulje f(x; y) = c1,...,f(x; y) = cn. Dobimo ravno nivojski diagram funkcije f.
(2) Za vsak i = 1,..., n izberimo vecje stevilo tock na krivulji f(x, y) = ci in skoznje narisimo kratke crtice z naklonom @i = arctg ci. Dobimo polje smernic dane diferencialne enacbe.
(3) Konstruiramo krivulje, ki imajo smernice iz tocke (2) za svoje tangente. Na ta nacin lahko dobimo vse resitve dane diferencialne enacbe.
b) y'=x-y
c) Zacetni podatki : x0, y0, h, N, f(x; y).
Desni del lomljenke: Za vsak i = 1,..,N izracunaj xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + f(xi-1; yi-1)h in preveri
ali (xi, yi) pripada D(f). Ce pripada, potem narisi daljico med (xi; yi) in (xi+1; yi+1), sicer pa koncaj.
Levi del lomljenke: Za vsak i = 1,...,N izracunaj xi = xi+1 ! h, yi = yi+1 ! f(xi+1; yi+1)h in preveri ali (xi; yi) pripada D(f). Ce pripada, potem narisi
daljico med (xi; yi) in (xi+1; yi+1), sicer pa koncaj.

(prosti.pad)
a) v=g*t
b) v(t)=gm/k * (1-e^(-kt/m) )
c) vmax= gm/k

(dif.en2.z.loclj.spr)
a)y"=g(y') h(y); nastavek: y' = z(y); odvedemo: y"= z'(y) y' = z' (y) z(y)
b) z'(y) z(y)= g(z(y)) h(y)
c) Ker ima locljive spr. jo znamo resiti. z= z(y,C1); y'= z(y,C1);
x= § dy/ (z(y1,C1) ) + C2
d) Izrazimo y kot funk. x,C1 in C2; y= y(x, C1,C2)

(zacetna.naloga)
a) y(x0)= y0; y'(x0)= z0
b) Ce je y(x) kega delca c trenutno x, potem pogoj y(x0)= y0 poda lego delca v trenutku x=x0, y(xo) pa hitrost delca v trenutku x=x0.
c) S splosno resitvijo ali s posplositivijo Eulerjeve metode.

 
    SLOhosting.com priporoča :